题目

如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1） 求证：EF＝MF； （2） 若AE＝2，求FC的长． 答案： 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FCD=∠ADC=90°，∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠A=∠DCM=90°，AE=CM，∠ADE=∠CDM，DE=DM∴∠FCD+∠DCM＝180°，∠ADE+∠EDC=∠CDM+∠EDC=90°，∴F、C、M三点共线，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵{DE=DM∠EDF=∠MDFDF=DF，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF； 解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即42+(8−x)2=x2，解得：x＝5，∴EF＝5，∴CF=FM-CM=EF-CM=3．

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