题目

如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 为线段 的中点， 为线段 上的一点. （1） 证明：平面 平面 . （2） 若 ，二面角 的余弦值为 ，求 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：连接 AC ，因为 PB=PC ， E 为线段 BC 的中点， 所以 PE⊥BC . 又 AB=BC ， ∠ABC=60° ，所以 ΔABC 为等边三角形， BC⊥AE . 因为 AE∩PE=E ，所以 BC⊥ 平面 PAE ， 又 BC⊂ 平面 BCP ，所以平面 PAE⊥ 平面 BCP . 解：设 AB=PA=a ，则 PB=2a=PC ，因为 PA2+AB2=PB2 ，所以 PA⊥AB ， 同理可证 PA⊥AC ，所以 PA⊥ 平面 ABCD . 如图，设 AC∩BD=O ，以 O 为坐标原点， OB⇀ 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O−xyz . 易知 ∠FOA 为二面角 A−BD−F 的平面角，所以 cos∠FOA=35 ，从而 tan∠FOA=43 . 由 AFa2=43 ，得 AF=23a . 又由 F(0，−a2，2a3) ， B(32a，0，0) ，知 BF⇀=(−3a2，−a2，2a3) ， OF⇀=(0，−a2，2a3) . 设平面 BDF 的法向量为 n⇀=(x，y，z) ， 由 n⇀⊥BF⇀ ， n⇀⊥OF⇀ ，得 {−3a2x−a2y+2a3z=0−a2y+2a3z=0 ，不妨设 z=3 ，得 n⇀=(0，4，3) . 又 P(0，−a2，a) ， D(−32a，0，0) ，所以 PD⇀=(−3a2，a2，−a) . 设 PD 与平面 BDF 所成角为 θ ，则 sinθ=|n⇀⋅PD⇀||n⇀||PD⇀|=|2a−3a|534a2+14a2+a2=210 . 所以 PD 与平面 BDF 所成角的正弦值为 210 .

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