题目

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC （1）求过点A，B的直线的函数表达式； （2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由． 答案：（1）y＝x+；（2）D点位置见解析，D（，0）；（3）符合要求的m的值为或． 【分析】 （1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标； （3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题． 【详解】 解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0）， ∴AC＝4， ∵BC＝AC， ∴BC＝×4＝3， ∴B（1，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝x+； （2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D， ∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1， 此时＝，即AB2＝AC•AD． ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5， ∴25＝4AD， ∴AD＝， ∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝， ∴点D的坐标为（，0）； （3）∵AP＝DQ＝m， ∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m． Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2， 则有＝， ∴AP•AD＝AB•AQ， ∴m＝5（﹣m）， 解得m＝； Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3， 则有＝， ∴AP•AB＝AD•AQ， ∴5m＝（﹣m）， 解得：m＝， 综上所述：符合要求的m的值为或． 【点睛】 此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．

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