题目

北京正负电子对撞机是国际上唯一高亮度对撞机，它主要由直线加速器、电子分离器、环形储存器和对撞测量区组成，图甲是对撞测量区的结构图，其简化原理如图乙所示：MN和PQ为足够长的水平边界，竖直边界EF将整个区域分成左右两部分，Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外。调节磁感应强度的大小可以使正负电子在测量区内不同位置进行对撞。经加速和积累后的电子束以相同速率分别从注入口C和D同时入射，入射方向平行EF且垂直磁场。已知注入口C、D到EF的距离均为d，边界MN和PQ的间距为 ，正、负电子的质量均为m，所带电荷量分别为+e和 e。 （1） 试判断从注入口C、D入射的分别是哪一种电子； （2） 若将Ⅱ区域的磁感应强度大小调为B，正负电子以 的速率同时射入，则正负电子经多长时间相撞？ （3） 若电子束以 的速率入射，欲实现正负电子对撞，求Ⅱ区域磁感应强度BⅡ的大小。 答案： 解：从C入射的为正电子，从D入射的为负电子 解：电子射入后的轨迹如图甲所示 电子在Ⅰ、Ⅱ区域中运动时半径相同，设为r，由 eBv1=mv12r 得： r=2dcosθ=r−dr=12 得： θ=600T=2πmeB对撞时间： t=2×T6=2πm3eB答：正负电子经 2πm3eB 时间相遇。 解：由 eBv2=mv22r0 得 r0=(2−2)d由 cosα=d−r0r0=22 得 α=450所以 x=22r0=(2−1)d 。假定对撞的一种情况如图丙所示。有： 43d=4x+4×22R2经分析得通解式 43d=2nx+2n×22Rn ①又 eBnv2=mv22Rn ②联合解得 Bn=2−226n+2−2B (n为正整数)③；要保证对撞，正负电子的轨迹既不能超过上下边界，又不能彼此相切，需满足： x+22Rn>Rn ④，经分析可得：n≥3；因 43dr0=432−2≈11.8 ，故Ⅰ区中沿EF方向最多只能有10个r0，即2个八分之三圆弧和4个八分之六圆弧，经分析可得：n≤5。所以n=3、4、5，BⅡ的3个值为： 2−2263+2−2B 、 2−262+2−2B 、 2−2265+2−2B说明：没有通解式的，但也能把答案算对，每算对1个答案的给4分。分步讨论求解(ⅰ)图1情况： 43d=2x+2×22R1 ①； x+22R1>R1 ②由①得 R1=(26+2−2)d ，但此时②式不满足，轨迹超过上下边界，不可能在P1处对撞。(ⅱ)图2情况： 43d=4x+4×22R2 ③； x+22R2>R2 ④；由得③ R2=(6+2−2)d ，但此时④式不满足，不可能在P2处对撞。(ⅲ)图3情况： 43d=6x+6×22R3 ⑤； x+22R3>R3 ⑥； qB3v2=mv22R3 ⑦由⑤得 R3=(236+2−2)d ，此时⑥式满足，能在P3处对撞。联合⑦式得 B3=2−2263+2−2B(ⅳ)图4情况： 43d=8x+8×22R4 ⑧； x+22R4>R4 ⑨； qB4v2=mv22R4 ⑩由⑧得 R4=(126+2−2)d ，此时⑨式满足，能在P4处对撞。联合⑩式得 B4=2−262+2−2B(ⅴ)图5情况： 43d=10x+10×22R5 ⑾； x+22R5>R5 ⑿； qB5v2=mv22R5 ⒀由⑾得 R5=(256+2−2)d ，此时⑿式满足，能在P5处对撞。联合⒀式得 B5=2−2265+2−2B

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