题目

如图，扇形区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形区域的圆心角 ， 半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形区域外修建一条公路 ， 分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与相切于点S（异于点P，Q），设（弧度），将公路的长度记为（单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计． （1） 将y表示为的函数，并写出的取值范围； （2） 求y的最小值，并求此时的值． 答案： 解：因为MN与PQ⌢相切于点S，所以OS⊥MN，在Rt△OSM中，因为OS=5，∠MOS=α，所以SM=5tanα，在Rt△OSN中，因为OS=5，∠NOS=π3−α，所以SN=5tan(π3−α)，所以y=5tanα+5tan(π3−α)=5tanα+5(3−tanα)1+3tanα=53(tan2α+1)1+3tanα，（0<α<π3） 解：因为0<α<π3，所以1+3tanα>0，令t=1+3tanα（1<t<4），则tanα=33(t−1)，所以y=533(t+4t−2)≥533(2t×4t−2)=1033，    当且仅当t=4t，即t=2时取等号，此tanα=33，又0<α<π3，所以α=π6．所以公路MN长度的最小值为1033，此时α的值为π6．

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