题目

如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标．答案：解：∵ 二次函数 y=−x2+bx+c 的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0）， ∴ {0=−1−b+c0=−4+2b+c ，解得： {b=1c=2 ， ∴ 二次函数的解析式为 y=−x2+x+2 ；解：如图1． ∵二次函数的解析式为 y=−x2+x+2 与y轴相交于点C， ∴ C（0，2），设 E（a，b），且a >0，b >0， ∵ A（-1，0），B（2，0）， ∴ OA=1，OB=2，OC=2，则S四边形ABEC= 12×1×2+12(2+b)⋅a+12(2−a)⋅b = 1+a+b ，∵ 点 E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点， ∴ b=−a2+a+2 ， ∴ S四边形ABEC=−a2+2a+3=−(a−1)2+4 ， ∴ 当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，4），且四边形ABEC的最大面积为4；解：如图2．设M（m，n），且m>0， ∵ 点M在二次函数的图象上， ∴ n=−m2+m+2 ， ∵ ⊙M与y轴相切，切点为D， ∴ ∠MDC =90°， ∵ 以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似， ∴ CDDM=OAOC=12 或 CDDM=OCOA=2 ， ①当n >2时， -m2+mm=12,或−m2+mm=2 ，解得 m1=0（舍去），m2= 12 ，或m3=0（舍去），m4=-1（舍去）； ②同理可得，当n<2时，m1=0（舍去），m2= 32 ，或m3=0（舍去），m4=3；综上，满足条件的点M的坐标为（ 12 ， 94 ），（ 32 ， 54 ），（3，-4）．

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