题目

已知函数 且 ． （1） 当 时求 的值域； （2） 设 ，若方程 有实根，求 的取值范围. 答案： 解： ∵x−5x+5=1−10x+5,x∈[10,15], ∴x−5x+5∈[13,12] ， ∵ 函数 y=log2t 是单调增函数 ∴f(x)∈[−log23,−1] ， 所以函数 f(x) 的值域为 [−log23,−1] 。 解：函数 y=f(x) 的定义域为 (−∞,−5)∪​(5,+∞) ， 函数 y=g(x) 的定义域为 (3,+∞) ， 因为方程 f(x)−1=g(x) 有实根， 所以 logax−5x+5−1=loga(x−3) 在 (5,+∞) 有实根， 即 logax−5(x+5)a=loga(x−3) 在 (5,+∞) 有实根， 化简整理得，方程 x2+(2−1a)x−15+5a=0 在 (5,+∞) 上有解 ,  设 h(x)=x2+(2−1a)x−15+5a, 对称轴 x=−1+12a .  ① −1+12a≤5 即 a≥112且a≠1 ， 因为 h(5)>0 且 y=h(x) 在 (5,+∞) 为增函数， 所以方程 h(x)=0 在 (5,+∞) 无解。 ② −1+12a>5 ，即 0<a<112 ， 则 Δ≥0 ，解得 0<a≤3−516  ， 综上 ：0<a≤3−516 .

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