题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F在点Q的下方，且QF=1．设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m． （1） 求这条抛物线所对应的函数表达式． （2） 求d与m之间的函数关系式． （3） 当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值． （4） 以OB为边作等腰直角三角形OBD，当0＜m＜3时，直接写出点F落在△OBD的边上时m的值． 答案： 解：把点B（3，0）代入抛物线y=a（x﹣1）2+4，得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，即抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3； 解：对于抛物线y=﹣x2+2x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，x=﹣1，或x=3，∴C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），设直线BC的解析式为：y=kx+b，根据题意得：b=33k+b=0，解得：k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，∵点P的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），∴点Q的纵坐标坐标为：﹣m2+2m+3，则﹣x+3=﹣m2+2m+3，x=m2﹣2m，∴点Q的坐标为（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），∴当﹣1≤m＜0时，如图1，d=m2﹣2m﹣m=m2﹣3m，当0＜x＜3时，如图2，d=m﹣（m2﹣2m）=﹣m2+3m∴d与m之间的函数关系式为：d=m2-3m-1≤m<0-m2+3m0<m<3； 解：当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，点P与点Q关于y轴对称，∴横坐标互为相反数，∴m2﹣2m+m=0，解得：m=1，或m=0（不合题意，舍去），∴m=1，∴d=3﹣1=2； 解：分四种情况：①情形一：如图4所示，∵C点的坐标为（0，3），将y=3代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=0（舍去），x2=2，∴P点的横坐标m=2；②情形二：如图5所示：过D2点作D2G⊥CO交QF与N点，∵B（0，3）∴D2（32，32），∵CO=3，QF=1，QF∥CO，∴D2ND2G=QFCO，∴D2N=12，∴Q（1，2），将y=2代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=1+2，x2=1-2（舍去），∴m=1+2；②情形三：如图6所示：过D2点作D2G⊥OB，∵B（0，3）∴D2（32，32），∵BG=32，QF=1，QF∥CO，∴QFD2G=BFBG，∴BF=1，∴Q（1，1），将y=1代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=1+3，x2=1-3（舍去），∴m=1+3；④情形四：如图7所示：∵CD2=6，QF=1，BC=32，且QF∥CD2，∴BQBC=QFCD2，∴BQ=22，∴Q点纵坐标为12，即P点纵坐标，将y=12代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=2+142，x2=2-142（舍去），∴m=2+142．综上所述：当0＜m＜3时，点F落在△OBD的边上时m的值为：2，或1+2，或1+3，或2+142．

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