题目

设函数f(x)=ax+(a，b∈Z)，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y=3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求证：函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； (3)求证：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值. 答案： (1)f'(x)=a-， 由题知解得或 因为a，b∈Z，所以f(x)=x+. (2)已知函数y1=x，y2=都是奇函数，所以函数g(x)=x+也是奇函数，其图象是以原点为对称中心的中心对称图形. 而f(x)=x-1++1，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为对称中心的中心对称图形. (3)在曲线上任取一点， 由f'(x0)=1-知，过此点的切线方程为y-=(x-x0). 令x=1，得y=， 切线与直线x=1的交点为. 令y=x，得y=2x0-1，切线与直线y=x的交点为(2x0-1，2x0-1)；直线x=1与直线y=x的交点为(1，1)， 从而所围成的三角形的面积S=·|2x0-1-1|=··|2x0-2|=2，所以所围成的三角形的面积为定值2.

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