题目

如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，M、N分别是棱AA1、AD的中点，设E是棱AB的中点． （1） 求证：MN∥平面CEC1； （2） 求平面D1EC1与平面ABCD所成角的正切值． 答案： 证明：∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形， AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，M、N分别是棱AA1、AD的中点，设E是棱AB的中点，∴DD1∥CC1，AD∥CE，∵AD∩DD1=D，CC1∩CE=C，AD，DD1⊂平面A1DD1A，CC1，CE⊂平面CEC1，∴平面A1DD1A∥平面CEC1，∵MN⊂平面A1DD1A，∴MN∥平面CEC1 解：平面D1EC1与平面ABCD所成角就是平面ABC1D1与平面ABCD所成的角， ∵CC1⊥平面ABCD，过C作CF⊥AB，交AB于F，连结C1F，则∠CFC1是平面D1EC1与平面ABCD所成角，∵CC1=AA1=2，CE=BC=BE=2，CF= 4−1 = 3 ，∴tan∠CFC1= CC1CF = 23 = 233 ．∴平面D1EC1与平面ABCD所成角的正切值为 233

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