题目

已知椭圆 ）的离心率为 ，左焦点为F，过F的直线 交椭圆于A，B两点，P为椭圆上任意一点，当直线 与x轴垂直时， ． （1） 求椭圆的方程； （2） 当直线 变动时，求 面积的最大值． 答案： 由 ca=12 ， 2b2a=3 ， a2−b2=c2  ，解得 a=2 ， b=3 ， c=1 ， 故所求椭圆的方程为 x24+y23=1 ． 由题意知 F(−1,0) ， ①当l的斜率为0时， |AB|=4 ，P为上顶点时 △ABP 的面积最大，最大值为 23 ． ②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为 x=my−1 ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， 由 {x=my−1,3x2+4y2=12 ，去x得 (3m2+4)y2−6my−9=0 ，故 y1+y2=6m3m2+4 ， y1y2=−93m2+4 ， 则| |AB|=1+m2(y1+y2)2−4y1y2=12(m2+1)3m2+4 ． 设与l平行的直线 l1 与椭圆相切， 则 {x=my+n3x2+4y2=12 消去 x 得 (3m2+4)y2+6mny+3n2−12=0 ， 由 Δ=0 得 n2=3m2+4 ，故 n=±3m2+4 ， 所以 l 与 l1 的最大距离 d=|3m2+4+1|m2+1 ， 则 S△ABP=12|AB|d=12⋅12(m2+1)3m2+4⋅|3m2+4+1|m2+1=6m2+13m2+4⋅(3m2+4+1) ， 令 3m2+4=t ，则  t∈[2,+∞) ， 且 S△ABP=6t2−13⋅(t+1)t2=23(t2−1)(t+1)2t4=23t4+2t3−2t−1t4 ， 令 f(t)=t4+2t3−2t−1t4 ， t∈[2+∞) ， 则 f′(t)=−2(t+1)2(t−2)t5 ， 因为 t≥2 ，所以 t−2≥0 ，所以 f′(t)≤0 ， 故 f(t) 在 [2,+∞) 上单调递减，所以 f(t) 的最大值是 f(2)=2716 ， 所以 S△ABP≤232716=92 ，因为  92>23 ． 所以 △ABP 面积的最大值为 92 ．

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