题目

二次函数和一次函数（k是常数）相交于点A. （1）证明：交点A的横坐标必是方程的根. （2）二次函数和一次函数有两个不同的交点B和C，其中B点的坐标为.求点C的坐标. （3）在（2）的条件下求点B、C与顶点所构成三角形的面积. 答案：证明：联立{y=x2−2x+5y=2x+k得x2−4x+(5−k)=0，∵二次函数y=x2−2x+5和一次函数y=2x+k（k是常数）相交于点A，∴点A既在二次函数图象上，也在一次函数图象上，∴交点A的横坐标x0必是方程x2−4x+(5−k)=0的根；解：∵二次函数与一次函数的一个交点为（-2，13），∴−4+k=13，∴k=17，∴一次函数解析式为y=2x+17，联立{y=x2−2x+5y=2x+k得x2−4x−12=0，解得x=6或x=−2（舍去），∴y=12+17=29，∴点C的坐标为（6，29）；解：设抛物线y=x2−2x+5的顶点为D，∵抛物线y=x2−2x+5的解析式为y=x2−2x+5=(x−1)2+4，∴抛物线y=x2−2x+5的顶点D的坐标为（1，4）设直线CD的解析式为y=mx+n，直线CD与直线y=13交于点E∴{m+n=46m+n=29，∴{m=5n=−1，∴直线CD的解析式为y=5x−1，∴点E的坐标为(145，13)，∴BE=245，∴S△BCD=S△BCE+S△BDE =12DE⋅(yC−yE)+12DE⋅(yE−yD) =12DE⋅(yC−yD)=12×245×(29−4)=60

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