题目

如图，正方形 ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转 至 ，点 ， 分别为点 ， 旋转后的对应点，连接 ， ， ， 与 交于点 ， 与 交于点 . （1） 求证 ； （2） 直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形. 答案： 证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴ ∠DCB=90° ， CD=CB ， ∵ △CDE 绕点 C 顺时针旋转 90° 至 △CFG ， ∴ CF=CD ， ∠ECG=∠DCF=90° ， ∴ △CDF 为等腰直角三角形， ∴ ∠CDF=∠CFD=45° ， ∵ ∠BCM+∠DCE=90° ， ∠DCN+∠DCE=90° ， ∴ ∠BCM=∠DCN ， ∵ ∠CBM=12∠ABC=45° ， ∴ ∠CBM=∠CDN ， 在 △BCM 和 △DCN 中 {∠MBC=∠NDCCB=CD∠BCM=∠CDN ， ∴ △BCM≅△DCN ， ∴ BM=DN 解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴ △ABD 和 △BCD 为等腰直角三角形； 由（1）得 △CDF 为等腰直角三角形； ∵ △CDE 绕点 C 顺时针旋转 90° 至 △CFG ， ∴ CE=CG ， ∠ECG=90° ， ∴ △ECG 为等腰直角三角形； ∵ △CBD 和 △CFD 为等腰直角三角形， ∴ △BDF 为等腰直角三角形.

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