题目

如图，直线 分别交y轴、x轴于点A、B，其中 、 的长是方程 的两根（ ），将直线 绕点O逆时针旋转 后与x轴、y轴分别交于点C、D，点P是该直线 与双曲线在第一象限内的一个交点， ⊥x轴于E，且 ． （1） 直线 的解析式； （2） 求点P的坐标； （3） 设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上，且点Q在直线 的右侧，作 ⊥x轴于点F，当 与 相似时，求点Q的横坐标． 答案： 解：解一元二次方程x2﹣9x＋18＝0得x1=6，x2=3 ∵OA、OB 的长是一元二次方程x2﹣9x＋18＝0的两个实数根，且OA＞OB， ∴OA＝6，OB＝3， 由旋转可得，OC＝OA＝6，OD＝OB＝3， ∴C(－6，0)，D(0，3)， 设直线CD解析式为y＝kx＋b， ∴ {−6k+b=0b=3 ，解得 {k=12b=3 ∴直线AB解析式为 y=12x+3； 解：设 P(x，12x+3)， 则 OE=x，PE=12x+3 ． ∵ SΔPCE=16， ∴ 12CE⋅PE=16， ∴ 12(x+6)(12x+3)=16， 解得 x1＝2，x2＝－14（不合题意，舍去）， ∴点 P 的坐标为(2，4)； 解：设反比例函数的解析式为： y=kx ， 把 P(2，4)代入，得 k＝xy＝2×4＝8， ∴ y=8x ． 点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为： (n，8n)(n>2)， 则EF＝n－2，QF＝ 8n ， ①当△EQF∽△CDO 时，有 EFCO=QFDO， 即 n−26=8n3 整理得：n2－2n－16＝0，解得：n1＝1＋ 17 或n2＝1－ 17 （舍去）； ②当△EQF∽△DCO时，有 EFDO=QFCO， 即 n−23=8n6， 整理得：n2－2n－4＝0，解得：n3＝1＋ 5 ，n4＝1－ 5 （舍去）， 综上①②所述，点Q的横坐标为：1＋ 17 或 1＋ 5 ．

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