题目

已知椭圆 的右焦点F2是抛物线 的焦点，过点 垂直于 轴的直线被椭圆所截得的线段长度为3． （1） 求椭圆 的方程； （2） 设动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ．请问：在x轴上是否存在定点，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1，0)，椭圆C过点 (1，±32) ， ∴ {a2=b2+11a2+94b2=1 ，解得 {a2=4b2=3 ， ∴ x24+y23=1 假设在x轴上存在定点 M(x1，0) ，使得 MP→⋅MQ→ 为定值. 设 P(x0，y0) ，则 Q(2，2k+m) ，由 {y=kx+mx24+y23=1 ，得 (4k2+3)x2+8kmx+4m2−12=0 ， ∵动直线 l：y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P ， ∴ Δ=(8km)2−4(4k2+3)(4m2−12)=0 ，即 4k2+3=m2，m≠0 ， 此时 x0=−4km4k2+3=−4km，y0=kx0+m=3m ， ∴ P(−4km，3m) . ∴ MP→=(−4km−x1，3m)，MQ→=(2−x1，2k+m) ∴ MP→⋅MQ→=(−4km−x1)(2−x1)+3m(2k+m)=(4x1−2)km+x12−2x1+3 ∴当 4x1−2=0 时，即 x1=12 ， x12−2x1+3=94 ∴存在点 M(12，0) ，使得 MP→⋅MQ→ 为定值 94

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