题目

（2009四川卷理）（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形， （I）求证：； （II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角的大小。 答案：本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一： （Ⅰ）因为平面⊥平面,平面， 平面平面， 所以⊥平面 所以⊥. 因为为等腰直角三角形，  ， 所以 又因为， 所以， 即⊥, 所以⊥平面。     ……………………………………4分       （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面                 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC                 所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN                 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，                 所以PM∥平面BCE           ……………………………………8分        （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°. 设AB=1,则AE=1,AF=.      FG=AF·sinFAG= 在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=, GH=BG·sinGBH=·= 在Rt△FGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan.       ………………………………12分 解法二: (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE, 所以AE⊥AB. 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°. 从而，. 所以,,. ,. 所以EF⊥BE, EF⊥BC. 因为BE平面BCE,BC∩BE=B , 所以EF⊥平面BCE.  (Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）. 从而=（，）. 于是 所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PM∥平面BCE.                                  ………………………………8分 (Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z） =(1，1，0)，      即 去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3） 取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1） 故二面角F-BD-A的大小为.        ……………………………………12分

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