题目

问题探究 （1） 已知直线y＝kx+b经过点A（﹣3，0），B（0，﹣ ），当 时，求y的最小值．   （2） 如图1，等边△ABC中，AB=2，点D为边BC的中点，连接AD，求∠CAD及CD：AC：AD的值； （3） 问题解决：如图2，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点M、E，已知点M（-3，0），且∠EMO＝60°，点A（4， ），B（2，﹣ ），C（﹣1，﹣2 ），连接AB，BC，得到折线段A﹣B﹣C，点P为折线段A﹣B﹣C上一动点，过点P向直线l作垂线，垂足为H，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，则△PHQ的周长是否存在最大值或最小值？若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由. 答案： 解：∵直线y=kx+b经过点A（-3，0），B（0，- 3 ）， ∴ - 3 k + b = 0 b = - 3 ，解得： k = - 3 3 b = - 3 ， ∴直线解析式为y= - 3 3 x - 3 ， ∵ - 3 3 ＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵ - 3 ≤ x ≤ 2 3 ， ∴当x= 2 3 是，y有最小值，且最小值y= - 3 3 × 2 3 - 3 =-2- 3 ； 解：∵△ABC为等边三角形，AB=2，点D为BC的中点， ∴AC=BC=AB=2，∠CAD= 1 2 ∠CAB=30°，CD= 1 2 BC=1， 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD= A C 2 - C D 2 = 2 2 - 1 2 = 3 ， ∴CD：AC：AD=1：2： 3 ； 解：①如图，当点P在线段AB上时， ∵点A（4， 3 ），点B（2，- 3 ）， 设直线AB的解析式为y=mx+n（m≠0）， ∴ 4 m + n = 3 2 m + n = - 3 ，解得： m = 3 n = - 3 3 ， ∴直线AB的解析式为y= 3 x-3 3 ， ∴设P（p， 3 p-3 3 ），且2≤p≤4， ∵M（-3，0），∠EMO=60°， ∴OE=3 3 ， ∴E（0，3 3 ）， 设直线l的解析式为y=tx+h， ∴ - 3 t + h = 0 h = 3 3 ，解得： t = 3 h = 3 3 ， ∴直线l的解析式为y= 3 x+3 3 ， ∴PQ∥x轴，∠PQH=∠EMO=60°， ∴点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同， ∴ 3 x+3 3 = 3 p-3 3 ， 解得x=p-6， ∴点Q（p-6， 3 p-3 3 ）， ∴PQ=p-（p-6）=6， ∵PH⊥l于点H，∠PQH=60°， ∴QH= 1 2 ×6=3，PH=3 3 ， ∴△PHQ的周长=PH+HQ+PQ=6+3+3 3 =9+3 3 ； ②如图，当点P在线段CB上时， ∵点B（2，- 3 ），点C（-1，-2 3 ）， 设直线BC的解析式为y=sx+q（s≠0）， ∴ 2 s + q = - 3 - s + q = - 2 3 ，解得： s = 3 3 q = - 5 3 3 ， ∴直线BC的解析式为y= 3 3 x- 5 3 3 ， ∴设P（p， 3 3 p- 5 3 3 ），且-1≤p＜2， ∵直线l的解析式为y= 3 x+3 3 ， ∴PQ∥x轴，∠PQH=∠EMO=60°， ∴点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同， ∴ 3 x+3 3 = 3 3 p- 5 3 3 ， 解得x= p 3 - 14 3 ， ∴点Q（ p 3 - 14 3 ， 3 3 p- 5 3 3 ）， ∴PQ=p-（ p 3 - 14 3 ）= 2 p 3 + 14 3 ， ∵PH⊥l于点H，∠PQH=60°， ∴QH= 1 2 ×（ 2 p 3 + 14 3 ）= p 3 + 7 3 ，PH= 3 3 p+ 7 3 3 ， ∴△PHQ的周长=PH+HQ+PQ= 3 3 p+ 7 3 3 + p 3 + 7 3 + 2 p 3 + 14 3 =（ 3 3 +1）（p+7）， 综上所述，C△PHQ= （ 3 3 + 1 ） （ p + 7 ） ， （ - 1 ≤ p ＜ 2 ） 9 + 3   3 ， （ 2 ≤ p ≤ 4 ） ， ∴当P=-1时，△PHQ的周长的最小值为（ 3 3 +1）（p+7）=2 3 +6，当2≤p≤4时，△PHQ的周长的 最大值为9+3 3 .

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