题目

如图， 是半圆 的直径，过点 作弦 的垂线交 于 ，且交切线 于点 ， 与半圆 交于点 ，连结 ， ． （1） 求证： ； （2） 若 ， ，求 的长． 答案： 证明：∵ AC 是 ⊙O 的切线， AB 是 ⊙O 直径， ∴ AB⊥AC ，即 ∠1+∠2=90° ， 又∵ CO⊥AD ， ∴ ∠1+∠C=90° ， ∴ ∠C=∠2 ， 而 ∠BED=∠2 ， ∴ ∠BED=∠C ； 解：连接 BD ， ∵ AB 是 ⊙O 的直径， OA=5 ， ∴ ∠ADB=90° ，AB=10， ∵ BD=AB2−AD2=102−82=6 ， 又∵ OC⊥AD ，且 ∠ADB=90° ， ∴ OC//BD, ∠AOC=∠DBA ． ∴ ΔOAC∽ΔBDA∽ΔOMA ， ∴ OABD=OCBA ，即 56=OC10 ， ∴ OC=253 ． ∴ OMBD=OABA ，即 OM6=510 ， ∴ OM=3 ． ∴ MC=OC−OM=253−3=163 ．

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