题目

已知如图1， （1） 若 ， 则 ； （2） 如图 ， ， 为 内部的一条射线， 是 四等分线，且 ， 求 的值； （3） 如图3， ， 射线 绕着 点从 开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至 结束，在旋转过程中，设运动的时间为 ， 是 四等分线，且 ， 当 在某个范围内 会为定值，请直接写出定值，并指出对应 的范围（本题中的角均为大于 且小于 的角）. 答案： 【1】 6 0 ° 或 3 0 ° 解：如图2， 设 ∠ C O N = x ° ∵ O N 是 ∠ M O C 四等分线且 3 ∠ C O N = ∠ N O M ∠NOM=3x° ∴ ∠ C O M = 4 x ° ， 又 ∠ A O C = 2 0 ° ∴ ∠ A O M = ( 4 x − 2 0 ) ° ∴ ∠ A O N = ∠ N O M − ∠ A O M = 3 x ° − ( 4 x − 2 0 ) ° = 2 0 ° − x ° ∴ 4 ∠ A O N + ∠ C O M = 4 ( 2 0 ° − x ° ) + 4 x ° = 8 0 ° 即 4 ∠ A O N + ∠ C O M = 8 0 ° 记OM转过的角度为 α ，分四种情形讨论： 第一种情形，当 0 ≤ α ≤ 6 0 ° 时（此时， 0 ≤ t ≤ 6 0 5 = 1 2 ） 如下图3-1 由∠MOB= 5 t ° 得∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=20°+40°- 5 t ° =60°- 5 t ° ， ∵ O N 是 ∠ M O C 四等分线且 3 ∠ C O N = ∠ N O M ∴ ∠ A O N = ∠ C O A − ∠ C O N = ∠ C O A − 1 4 ∠ C O M = 2 0 ° − 1 4 ( 6 0 ° − 5 t ° ) = 5 ° + 5 4 t ° ∴ 4 ∠ A O N + ∠ C O M = 4 ( 5 ° + 5 4 t ° ) + ( 6 0 ° − 5 t ° ) = 8 0 ° ∴当 0 ≤ t ≤ 6 0 5 = 1 2 时， 4 ∠ A O N + ∠ C O M 为定值80°； 第二种情形，当 6 0 ° < α ≤ 2 4 0 ° 时，（此时 1 2 < t ≤ 2 4 0 5 = 4 8 ） 如下图3-2 由∠MOB= 5 t ° 得∠COM=∠MOB –(∠COA+∠AOB) = 5 t ° -(20°+40°)=  5 t ° -60° ∵ O N 是 ∠ M O C 四等分线且 3 ∠ C O N = ∠ N O M ∴ ∠ A O N = ∠ C O A + ∠ C O N = ∠ C O A + 1 4 ∠ C O M = 2 0 ° + 1 4 ( 5 t ° − 6 0 ° ) = 5 ° + 5 4 t ° ∴ 4 ∠ A O N + ∠ C O M = ( 5 t ° − 6 0 ° ) + 4 ( 5 ° + 5 4 t ° ) = 1 0 t ° − 4 0 ° ∴当 1 2 < t ≤ 2 4 0 5 = 4 8 时， 4 ∠ A O N + ∠ C O M 不是定值； 第三种情形，当 2 4 0 ° < α < 3 6 0 ° 且ON在∠COA外时（此时， 4 8 < t < 3 4 0 5 = 6 8 ）如下图3-3 由∠MOB=360°- 5 t ° 得∠COM=∠MOB +（∠COA+∠AOB) =360°- 5 t ° +(20°+40°)=420°-  5 t ° ， ∵ O N 是 ∠ M O C 四等分线且 3 ∠ C O N = ∠ N O M ∴ ∠ A O N = ∠ C O N − ∠ C O A = 1 4 ∠ C O M − ∠ C O A = 1 4 ( 4 2 0 ° − 5 t ° ) − 2 0 ° = 8 5 ° − 5 4 t ° 得 4 ∠ A O N + ∠ C O M = ( 4 2 0 ° − 5 t ° ) + 4 ( 8 5 ° − 5 4 t ° ) = 7 6 0 ° − 1 0 t ° ， 所以得当 4 8 ≤ t < 3 4 0 5 = 6 8 时， 4 ∠ A O N + ∠ C O M 不为定值. 第四种情形，当 2 4 0 ° < α < 3 6 0 ° 且ON在角∠COA内或与OA重合时（此时 6 8 ≤ t < 7 2 ）如下图3-4 由∠MOB=360°- 5 t ° 得∠COM=∠MOB +（∠COA+∠AOB) =360°- 5 t ° +(20°+40°)=420°-  5 t ° ， ∵ O N 是 ∠ M O C 四等分线且 3 ∠ C O N = ∠ N O M ∴∴ ∠ A O N = ∠ C O A − ∠ C O N = ∠ C O A − 1 4 ∠ C O M = 2 0 ° − 1 4 ( 4 2 0 ° − 5 t ° ) = 5 4 t ° − 8 5 ° ∴ 4 ∠ A O N + ∠ C O M = ( 4 2 0 ° − 5 t ° ) + 4 ( 5 4 t ° − 8 5 ° ) = 8 0 ° ∴当 6 8 ≤ t < 7 2 时， 4 ∠ A O N + ∠ C O M 为定值80°. 综上讨论得当 0 ≤ t ≤ 1 2 或 6 8 ≤ t < 7 2 时， 4 ∠ A O N + ∠ C O M 为定值80°.

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