题目

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）． （1） 当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积； （2） 设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）； （3） 当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积． 答案： 解：由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN= 3 米，所以 S△EMN=34平方米 ，即三角通风窗EMN的通风面积为 34平方米 解：当MN在矩形区域内滑动，即 x∈(0,12) 时，△EMN的面积 S=12×MN×(12−x)=12−x ； 当MN在半圆形区域内滑动，即 x∈(12,32) 时，△EMN的面积 S=(12−x)⋅1−(x−12)2 综上可得 S=f(x)={−x+12,x∈(0,12)(x−12)⋅1−(x−12)2,x∈(12,32) ； 解：当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间 (0,12) 上单调递减，则f（x）＜f（0）= 12 ； 当MN在半圆形区域内滑动， f(x)=(x−12)⋅1−(x−12)2≤(x−12)2+[1−(x−12)2]2=12 等号成立时， x=12(2+1) 因此当 x=12(2+1) （米）时，每个三角形得到最大通风面积为 12 平方米．

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