题目

几何体的三视图相互关联．已知直三棱柱的三视图如图，在△PMN中，∠MPN＝90°，PN＝4，sin∠PMN ． （1） 求BC及FG的长； （2） 若主视图与左视图两矩形相似，求AB的长； （3） 在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积． 答案： 解：∵ 在△PMN中，∠MPN＝90°， ∴ sin∠PMN=PNMN ， ∴MN= PNsin∠PMN=445=5， ∴BC=MN=5； 如图，作PQ⊥MN， ∵PM=MN2-PN2=3， ∴FG=PQ=PM×PNMN=4×35=125. 解：∵EH=PQ=125，EF=AB， ∵矩形ABCD∽矩形EFGH， ∴ABEH=ADEF， ∴AB2=AD×EH=5×125=12， ∴AB=23. 解： S△PMN=12×PM×PN=12×3×4=6， S前面=AB×BC=23×5=103， S背面=4×23=83， S侧面=AB×PM=23×3=63， ∴ 直三棱柱的表面积=2×6+103+83+63=12+243.

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