题目

如图，等边△AOB中点O是原点，点A在y轴上，点B的坐标是（2 ，2），小明做一个数学实验，在x轴上取一动点C，以AC为一边画出等边△ACP，移动点C时，探究点P的位置变化情况． （1） 如图，小明将点C移至x轴负半轴，在AC的右侧画出等边△ACP，并使得顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP； （2） 小明在x轴上移动点C，并在AC的右侧画出等边△ACP时，发现点P在某函数图象上，请求出点P所在函数图象的解析式． （3） 小明在x轴上移动点C点时，若在AC的左侧画出等边△ACP，点P会不会在某函数图象上？若会在某函数图象上，请直接写出该函数图象的解析式，若不在某函数图象上，请说明理由． 答案： 证明：如图，∵△AOB与△ACP都是等边三角形，∴OA=AB，A=AP，CAP=∠OAB=60°．∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO．∴∠CAO=∠PAB．在△AOC与△PAB中，{AO=AB∠CAO=∠PABAC=AP ，∴△AOC≌△ABP 解：由（1）可知，△AOC≌△ABP，∴∠COA=∠PBA=90°，∴点P在过点A且与AB垂直的直线上，在等边△AOB中，B（2 3 ，2），∴AB=4，当点C移动，使得P在y轴上时，∵△PAB是直角三角形，∠PAB=60°，∴PA= ABcos60∘ =8，∴P（0，﹣4），设直线PB的解析式为y=kx﹣4，把B（2 3 ，2）代入得到k= 3 ，∴点P所在函数图象的解析式为y= 3 x﹣4 会在函数的图象上，如图作B的对称点B′，连接AB′，OB′．由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直线P′B′的解析式为t=﹣ 3 x﹣4．∴该函数图象的解析式为y=﹣ 3 x﹣4

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