题目

已知函数 ． （1） 判断 的奇偶性； （2） 判断 的单调性，并用定义证明； （3） 解不等式 ． 答案： 解：由 2x+1>1 得函数的定义域为 R 又 f(−x)+f(x)=12−x+1−12+12x+1−12 =2x2x+1+12x+1−1 =1−1=0   则 f(−x)=−f(x) 故 f(x) 为奇函数 解： f(x) 为 R 上的减函数， 任取 x1<x2 ，则 f(x1)−f(x2)=12x1+1−12−12x2+1+12 =2x2−2x1(2x1+1)(2x2+1)   ∵ x1<x2 ， ∴2x1<2x2 则 f(x1)−f(x2)= 2x2−2x1(2x1+1)(2x2+1)>0       ∴ f(x1)>f(x2) 故函数 f(x) 为 R 上的减函数 解：由（1）（2）知 f(x) 在 R 上是奇函数且单调递减， 由 f(f(x))+f(38)<0 得 f(f(x))<−f(38)=f(−38) ， 则 f(x)>−38 ， ∴ 12x+1−12>−38 ， 即 2x<7 ，解得 x<log27 故不等式的解集为 (−∞,log27)

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