题目

设数列{an}满足a1=3， ． （1） 计算a2 ， a3 ， 猜想{an}的通项公式并加以证明； （2） 求数列{2nan}的前n项和Sn ． 答案： 解：由题意可得 a2=3a1−4=9−4=5 ， a3=3a2−8=15−8=7 ， 由数列 {an} 的前三项可猜想数列 {an} 是以3为首项，2为公差的等差数列，即 an=2n+1 ， 证明如下： 当 n=1 时， a1=3 成立； 假设 n=k 时， ak=2k+1 成立. 那么 n=k+1 时， ak+1=3ak−4k=3(2k+1)−4k=2k+3=2(k+1)+1 也成立. 则对任意的 n∈N* ，都有 an=2n+1 成立 解：由（1）可知， an⋅2n=(2n+1)⋅2n Sn=3×2+5×22+7×23+⋯+(2n−1)⋅2n−1+(2n+1)⋅2n ，① 2Sn=3×22+5×23+7×24+⋯+(2n−1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1 ，② 由① − ②得： −Sn=6+2×(22+23+⋯+2n)−(2n+1)⋅2n+1 =6+2×22×(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1 =(1−2n)⋅2n+1−2 ， 即 Sn=(2n−1)⋅2n+1+2 .

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