题目

如图，已知长方体中， ， .为的中点，平面交棱于点F. （1） 求证：； （2） 求二面角的余弦值，并求点A到平面的距离. 答案： 证明：由长方体的性质知：面BCC1B1//面ADD1A1，又B1C⊂面BCC1B1，∴B1C//面ADD1A1，又面CB1E∩面ADD1A1=EF，且B1C⊂面CB1E，∴B1C//EF. 解：由题设，构建如下空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(2，0，1)，E(0，1，1)，C(2，2，0)，C1(2，2，1)，∴EB1→=(2，−1，0)，CB1→=(0，−2，1)，若面CB1E的一个法向量为m→=(x，y，z)，则{m→⋅EB1→=2x−y=0m→⋅CB1→=−2y+z=0，令y=2，则m→=(1，2，4)，而面C1B1E的一个法向量为n→=(0，0，1)，∴cos<m→，n→>=m→⋅n→|m→||n→|=41+4+16=42121，即为所求二面角余弦值.由上知：AC→=(2，2，0)，则cos<m→，AC→>=m→⋅AC→|m→||AC→|=621×22=4214，∴A到平面CB1E的距离为|AC→|cos<m→，AC→>=22×4214=2217.

查看本题答案和解析