题目

如图，在 中， ， 是边 上一动点，且不与 ， 两点重合，连结 ，过点 作 交边 于点 ， 的外接圆交边 于另一点 ，连结 . （1） 求证： . （2） 当 ， 时. ①若 ，求 的长. ②当线段 ， ， 中有两条相等时，求出所有符合条件的 的值. （3） 若 平分 ， ， ，则 . 答案： 证明：∵四边形 BEDF 为圆内接四边形 ∴ ∠BFD+∠BED=180° ∵ ∠AFD+∠BFD=180° ∴ ∠AFD=∠BED ∵ ∠A=∠BDE=90° ∴ △ADF∽△DBE 解：①如图1过点 D 作 DM⊥BC 于点 M ∵ △ADF∽△DBE ∴ ∠DBE=∠ADF ∴ tan∠DBC=tan∠ADF=AFAD=13=DMBM 设 DM=3x ，则 BM=9x ∵ tanC=ABAC=34 ∴ DMCM=34 ∴ CM=4x ∵ BC=AB2+AC2=10 ∴ CM+BM=AB=10 ∴ 4x+9x=10 ， ∴ x=1013 ∴ CD=5x=5013 ∴ AD=AC−CD=8−5013=5413 ②（i）当 DE=DF 时，如图， ∵ DE=DF ∴ DE⌢=DF⌢ ∴ ∠ABD=∠CBD ∵AB=6，AC=8，   ∴tanC=34=DMCM，   ∴设 AD=DM=3x ∴ CM=4x ， CD=5x ∴ AC=CD+AD=5x+3x=8x ∴ x=1 ， AD=3 ∴ tan∠ABD=ADAB=36=12 ∴ tan∠ADF=tan∠DBC=tan∠ABD=12 （ii）当 DE=BF 时， ∵ DE=BF ∴ DE⌢=BF⌢ ∴ ∠DBE=∠FDB ∴ DF//BC ∴ ∠ADF=∠C ∴ tan∠ADF=tanC=34 （iii）当 DF=BF 时，如图，连结 EF ∠EFB=∠EDB=90° ∵ ∠EFB=∠A=90° ∴ AC//EF ∴ ∠BEF=∠C ∵ DF=BF ∴ ∠ABD=∠BDF=∠BEF=∠C ∴ tan∠ABD=tanC=34 ∴ ADAB=34 ，∴ AD=92 设 AF=y ，则 DF=BF=6−y 在 Rt△ADF 中， AD2+AF2=DF2 ， (92)2+y2=(6−y)2 ， y=2116 ∴ tan∠ADF=AFAD=211692=724 综上所述，当线段 DE ， DF ， BF 中有两条相等时， tan∠ADF 的值为 12 ， 34 或 724 【1】32

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