题目

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC． （1） 求证：∠FBC=∠FCB； （2） 已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长． 答案： 证明：∵四边形AFBC内接于圆， ∴∠FBC+∠FAC=180°，∵∠CAD+∠FAC=180°，∴∠FBC=∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵∠EAD=∠FAB，∴∠FAB=∠CAD，又∵∠FAB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB； 解：由（1）得：∠FBC=∠FCB， 又∵∠FCB=∠FAB，∴∠FAB=∠FBC，∵∠BFA=∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴ BFFD=FABF ，∴BF2=FA•FD=12，∴BF=2 3 ，∵FA=2，∴FD=6，AD=4，∵AB为圆的直径，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴tan∠FBA= AFBF = 223 = 33 ，∴∠FBA=30°，又∵∠FDB=∠FBA=30°，∴CD=AD•cos30°=4× 32 =2 3 ．

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