题目

小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．哪种混合方式的什锦糖的单价更低？ （1） 小明设甲、乙糖果的单价分别为、 ， 用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．请你写出他的解答过程； （2） 为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论： 结论1：若 ， 则；若 ， 则；若 ， 则； 结论2：反比例函数的图象上的点的横坐标与纵坐标互为倒数； 结论3：若的坐标为 ， 的坐标为 ， 则线段的中点坐标为 ． 小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程： ①利用结论1求解； ②利用结论2、结论3求解． 答案： 解：设甲的质量为p，乙的质量为q， 采用方式1混合的什锦糖的单价为：pa+qbp+q， ∵p=q， ∴pa+qbp+q=pa+pb2p=a+b2； 采用方式2混合时：设总价为w， 则甲的数量为wa，乙的数量为wb， ∴采样方式二混合时，平均价为：2wwa+wb=21a+1b=2aba+b； 解：①因为a>0，b>0，a≠b， 所以(a−b)2>0，2(a+b)>0．所以a+b2−2aba+b=(a−b)22(a+b)>0． 由结论1，得a+b2>2aba+b．因此，采用方式2混合的什锦糖的单价更低． ②如图，设A、B是反比例函数y=1x（x>0）的图象上两点，C是线段AB的中点， 令点A、B的纵坐标分别为a、b，不妨设a<b． 过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CD与此函数图象交于点E． 由结论2，得点A、B的横坐标分别为1a、1b． 由结论3，得点C的坐标为(a+b2ab，a+b2)． 因为点C与点E的横坐标相等，所以点E的横坐标为a+b2ab． 由结论2，得点E的坐标为(a+b2ab，2aba+b)． 因为E是线段CD上一点，所以CD>DE．所以a+b2>2aba+b． 因此，采用方式2混合的什锦糖的单价更低．

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