题目

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP． （1） 证明：AC⊥DE； （2） 若PC= BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值． 答案： 解：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD ∴PD⊥AC∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PD、BD是平面PBD内的相交直线，∴AC⊥平面PBD∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE 解：分别以DP、DA、DC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 设BC=3，则CP=3 2 ，DP=3，结合2BE=EP可得D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），E（1，2，2）∴ CA→ =（0，3，﹣3）， CP→ =（3，0，﹣3）， CE→ =（1，2，﹣1）设平面ACP的一个法向量为 u→ =（x，y，z），可得 {u→⋅CA→=3y−3z=0u→⋅CP→=x−3z=0 ，取x=1得 u→ =（1，1，1）同理求得平面ACE的一个法向量为 v→ =（﹣1，1，1）∵cos＜ u→ ， v→ ＞= u→⋅v→|u→|⋅|v→| = 13 ，∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值等于 13

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