题目

已知函数 ， ， ． （1） 若 ，且 存在单调递减区间，求实数 的取值范围； （2） 设函数 的图象 与函数 的图象 交于点 ， ，过线段 的中点作 轴的垂线分别交 ， 于点 ， ，证明： 在点 处的切线与 在点 处的切线不平行． 答案： 解： b=2 时， h(x)=lnx−12ax2−2x ，则 h'(x)=1x−ax−2 =−ax2+2x−1x ， 因为函数 h(x) 存在单调递减区间，所以 h'(x)<0 有解， 又因为 x>0 ，则 ax2+2x−1>0 有 x>0 的解， 所以 a>1x2−2x=(1x−1)2−1≥−1 ， 所以 a 的取值范围为 (−1,0)∪(0,+∞) ． 解：设点 P 、 Q 的坐标分别为 (x1,y1) ， (x2,y2) ， 0<x1<x2 ， 则点 M ， N 的横坐标为 x=x1+x22 ， C1 在点 M 处的切线斜率为 k1=1x|x=x1+x22=2x1+x2 ， C2 在点 N 处的切线斜率为 k2=ax+b|x=x1+x22=a(x1+x2)2+b ， 假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行，则 k1=k2 ，即 2x1+x2=a(x1+x2)2+b ， 则 2(x2−x1)x1+x2=a2(x22−x12)+b(x2−x1)=(a2x22+bx2)−(a2x12+bx1)=y2−y1=lnx2−lnx1 ， 所以 lnx2x1=2(x2x1−1)1+x2x1 ，设 t=x2x1 ，则 lnt=2(t−1)1+t ， t>1 ，① 令 r(t)=lnt−2(t−1)1+t ， t>1 ，则 r'(t)=1t−4(1+t)2=(t−1)2t(t+1)2 ， 因为 t>1 时， r'(t)>0 ，所以 r(t) 在 (1,+∞) 上单调递增，故 r(t)>r(1)=0 ， 则 lnt>2(t−1)1+t ，这与①矛盾，假设不成立， 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行．

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