题目

如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动. （1） 若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=，y=； （2） 如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； （3） 如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q. ①试说明∠PBQ=∠ACQ； ②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请写出∠BAO的度数. 答案： 【1】3【2】1 解： ∠ACB 的度数不发生变化，其值求解如下： 由三角形的内角和定理得 ∠OAB+∠OBA=180°−∠MON=120° ∵ 点C为 △ABO 三条内角平分线交点，即AC平分 ∠OAB ，BC平分 ∠OBA ∴∠CAB=12∠OAB,∠CBA=12∠OBA ∴∠CAB+∠CBA=12∠OAB+12∠OBA=12(∠OAB+∠OBA)=60° 由三角形的内角和定理得 ∠ACB=180°−∠CAB−∠CBA=120° 解：①由三角形的外角性质得： ∠ABM=∠AOB+∠OAB,∠ACQ=∠AOC+∠OAC ∵ 点C为 △ABO 三条内角平分线交点，即AC平分 ∠OAB ，OC平分 ∠AOB ∴∠OAC=12∠OAB,∠BOC=∠AOC=12∠AOB=30° ∴∠ACQ=∠AOC+∠OAC=12∠AOB+12∠OAB=12(∠AOB+∠OAB) 又 ∵BP 是 ∠ABM 的角平分线 ∴∠PBQ=12∠ABM=12(∠AOB+∠OAB) ∴∠PBQ=∠ACQ ； ② ∵BP 是 ∠ABM 的角平分线，BC平分 ∠OBA ∴∠PBA=12∠ABM,∠ABC=12∠OBA ∴∠PBC=∠PBA+∠ABC=12∠ABM+12∠OBA=12(∠ABM+∠OBA)=90° 由三角形的外角性质得： ∠PCB=∠BOC+∠OBC=30°+∠OBC>30° 则在 △BCP 中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是 ∠PCB=2∠P ∵∠PBC=90° ∴∠P=30°,∠PCB=60° ∴∠ACQ=∠ACB−∠PCB=120°−60°=60° ∴∠OAC=∠ACQ−∠AOC=60°−30°=30° ∴∠BAO=2∠OAC=2×30°=60° .

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