题目

已知椭圆的左、右焦点分别为、 ， 点P，Q为椭圆C上任意两点，且点P， ， Q三点共线，若三角形的周长为8，离心率. （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 设椭圆C外切于矩形 ， 求矩形面积的最大值. 答案： 解：因为三角形PQF2的周长为4，所以4a=8，则a=2，又∵e=22，∴a=2c，∴c=2，∴b2=4−2=2，所以椭圆C的方程为x24+y22=1. 解：当矩形ABCD中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行，此时SABCD=4×22=82.当矩形ABCD的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB的方程为；y=kx+m，则CD的方程为：y=kx−m.AD的方程为：y=−1kx+n，BC的方程为：y=−1kx−n.由{y=kx+mx24+y22=1，得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2−2)=0，令Δ=0得m2=4k2+2，同理得n2=4k2+2.矩形ABCD的边长分别为|AD|=|2m|1+k2，|AB|=|2n|1+1k2.∴SABCD=|2m|1+k2×|2n|1+1k2=4|mnk|1+k2=8(2k2+1)(2k2+1)k21+k2，=82+11k2+k2+2≤82+14=12，当且仅当k=±1时取等号.所以矩形ABCD面积的最大值是12.

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