题目

已知函数. （1） 试讨论函数的单调性： （2） 设分别是的极大值和极小值，且 ， 求的取值范围. 答案： 解：由已知f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=x+1x−a(a∈R)，∵x+1x≥2∴当a≤2时，f′(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增；∴当a>2时，f′(x)=x2−ax+1x，由f′(x)=0可得，x1=a−a2−42，x2=a+a2−42，且x2>x1>0则f(x)在(0，a−a2−42)单调递增，在(a−a2−42，a+a2+42)单调递减，在(a+a2+42，+∞)单调递增； 解：由（1）知，欲使f(x)在(0，+∞)有极大值和极小值，必须a>2.又a≤103，所以2<a≤103.令f′(x)=x+1x−a=x2−ax+1x=0的两根分别为x1，x2，即x2−ax+1=0的两根分别为x1，x2，于是{x1+x2=ax1x2=1.不妨设0<x1<1<x2，由（1）可得M=f(x1)，N=f(x2)，所以S=m−n=f(x1)−f(x2)=(12x12−ax1+lnx1)−(12x22−ax2+lnx2)=12(x12−x22)−a(x1−x2)+lnx1−lnx2=−12(x12−x22)+lnx1x2=−12×x12−x22x1x2+lnx1x2=−12×(x1x2−x2x1)+lnx1x2令t=x1x2∈(0，1)于是S=−12(t−1t)+lnt.∵t+1t=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=a2−2∈(2，829]，则2<t+1t≤829，解得19≤t<1.因为S′=−12(1+1t2)+1t=−12(1t−1)2<0，所以S=−12(t−1t)+lnt在[19，1)上为减函数，所以S∈(0，409−2ln3].

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