题目

已知点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥面ABCD,Q为线段AP的中点,AB=3,BC=4,PA=2,求:(1)点Q到直线BD的距离;(2)点P到平面BQD的距离. 答案：解析:(1)在平面ABCD内作AE⊥BD,E为垂足,连结QE,则QE⊥BD,所以QE为Q到直线BD的距离.在Rt△ABD中,AE=.在Rt△AEQ中,QE=,即Q到直线BD的距离为.(2)法一:由于Q为PA的中点,所以点P与点A到平面BDQ的距离相等.由(1)知BD⊥面AEQ,所以面AEQ⊥面BDQ.在平面AEQ中,作AF⊥EQ,F为垂足,则AF⊥面BDQ,所以AF为A到平面BDQ的距离.在Rt△AEQ中,AF=,故点P到平面BDQ的距离为.法二:设点P到平面BDQ的距离为h,则S△BDQ=BD·QE=×5×,S△ABD=AB·AD=×3×4=6.∵QA=1,VA—BDQ=VQ—ABD,∴×1×6=×h×.∴h=.故点P到平面BDQ的距离为.小结：求点到线、点到面的距离的首要方法是作出垂线段,求其长度.点到面的距离可参考等积法,即将该点与平面内的某三个点连结起来构成三棱锥,利用三棱锥的每一个面均可作底面这一性质,通过体积相等列出方程,解方程即可求出所求距离.

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