题目

如图， 已知直线 与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线 与直线交于A，E两点，与x轴交于B(1，0)，C(2，0)两点. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 动点P在x轴上移动， 当△PAE是直角三角形时，请通过计算写出一个满足条件点P的坐标. 答案： 解：∵直线y= 12 x+1与y轴交于点A， ∴A（0，1）， 将A（0，1），B(1，0)，C(2，0)代入 y=ax2+bx+c 中 {c=1a+b+c=04a+2b+c=0 ，解得： {a=12b=−32c=1 ∴抛物线的解析式为： y=12x2−32x+1 解：设点 E 的横坐标为 m ，则它的纵坐标为 12m2−32m+1 即 E 点的坐标 (m，12m2−32m+1) ， 又∵点 E 在直线 y=12x+1 上， ∴ 12m2−32m+1=12m+1 解得 m1=0 （舍 去） ， m2=4 ， ∴E 的坐标为 (4，3) . （Ⅰ）当 A 为直角顶点时，过 A 作 AP1⊥DE 交 x 轴于 P1 点，设 P1(a，0) 易知 D 点坐标为 (−2，0) ， 由 RtΔAOD∽Rt △ P1OA 得： DOOA=OAOP ，即 21=1a ， ∴a=12 ， ∴P1(12 ， 0) . （Ⅱ） 同理，当 E 为直角顶点时， 过 E 作 EP2⊥DE 交 x 轴于 P2 点， 由 RtΔAOD∽Rt △ P2ED 得， DOOA=DEEP2 ，即 21=35EP2 ， ∴EP2=352 ， ∴DP2=35×52=152 ， ∴a=152−2=112 ， P2 点坐标为 (112，0) . （Ⅲ） 当 P 为直角顶点时， 过 E 作 EF⊥x 轴于 F ，设 P3(b ， 0) ， 由 ∠OPA+∠FPE=90° ，得 ∠OPA=∠FEP ， RtΔAOP∽RtΔPFE ， 由 AOPF=OPEF 得 14−b=b3 ，  解得 b1=3 ， b2=1 ， ∴ 此时的点 P3 的坐标为 (1，0) 或 (3，0) ， 综上所述， 满足条件的点 P 的坐标为 (12，0) 或 (1，0) 或 (3，0) 或 (112，0) .

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