题目

综合与实践：折纸中的数学 问题背景 在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF ． 这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题． （1） 操作发现  “争先”小组将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF恰好是等边三角形，求矩形ABCD的长、宽之比是多少？ （2） “实践探究 励志”小组将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图③，使B点落在AD边上的B′处；沿B′G折叠，使D点落在D′处，且B′D′过F点．试探究四边形EFGB′是什么特殊四边形？ （3） 再探究：在图③中连接BB′，试判断并证明△BB′G的形状． 答案： 解：矩形 ABCD 的长、宽之比应是 3 ． 证明：设 BE=a ， ∵ΔAEF 等边三角形， ∴∠EAF=60° ， ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BAD=∠ABE=90° ， ∠BAE=∠BAD−∠EAF=30° ． 在 RtΔABE 中， ∠ABE=90° ， ∠BAE=30° ， BE=a ， ∴AE=BEsin∠BAE=2a ， AB=BEtan∠BAE=3a ， ∵AE=EC ， ∴BC=BE+EC=3a ， ∴ BCAB=3a3a=3 ． 解：四边形 B′EFG 是平行四边形． 证明： ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴AD//BC ， ∴∠B′EF=∠BFE ， ∠EB′F=∠GFB′ ， ∠DB′G=∠FGB′ ． 由翻折的特性可知： ∠BFE=∠B′FE ， ∠DB′G=∠FB′G ， ∴∠B′EF=∠B′FE ， ∠FB′G=∠FGB′ ， 又 ∵∠EB′F=∠GFB′ ， ∴∠B′FE=∠FB′G ， ∴EF//B′G ， 又 ∵B′E//FG ， ∴ 四边形 B′EFG 是平行四边形． 解：△ BB′G 为直角三角形． 证明：连接 BB′ 交 EF 于点M，如图所示． ∵AD//BC ， ∴∠EB′B=∠FBB′ ， ∵BF=B′F ， ∴∠FBB′=∠FB′B ， ∴∠EB′B=∠FB′B ． ∵∠B′EF=∠B′FE ， ∴ △ B′EF 为等腰三角形， ∴B′M⊥EF ， ∴∠BMF=90° ． ∵EF//B′G ， ∴∠BB′G=∠BMF=90° ， ∴ △ BB′G 为直角三角形．

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