题目

已知二次函数 的图象与直线 只有一个交点，满足 且函数 是偶函数． （1） 求二次函数 的解析式； （2） 若对任意 恒成立，求实数m的范围； （3） 若函数 恰好三个零点，求k的值及该函数的零点． 答案： 因为 f(x−2) 是偶函数，所以 f(x−2)=f(−x−2) 所以 f(x) 的图象关于 x=−2 对称， 又二次函数 y=f(x) 的图象与直线 y=−6 只有一个交点， 设 f(x)=a(x+2)2−6 又因为 f(0)=4a−6=−2 解得 a=1 ， 所以 f(x)=(x+2)2−6=x2+4x−2 ． 由（1）得 g(x)=x−2x+4 ∵g(x) 在区间 [1，2] 单调递增 ∴g(x)min=3 ∴3≥−m2+tm 即 m2−tm+3≥0 ∴m2−4m+3≥0 且 m2+4m+3≥0 ∴m≥3 或 m≤−3 令 n=|x|+3≥3 由 g(n)+k⋅2n−11=0 得 n−2n+4+2kn−11=0 即 n2−7n+2k−2n=0 ∵ 函数 y=g(|x|+3)+k⋅2|x|+3−11 有三个零点 ∴n2−7n+2k−2=0 的一个零点为3 ∴k=7 当 k=7 时，由 n2−7n+12=0 得 n1=3，n2=4 当 n1=3 时， x=0 ；当 n2=4 时， x=±1；∴k=7 ， 函数的零点为 0，±1

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