题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G． （1） 求证：△ACE∽△BFC； （2） 试探究AF、BE、EF之间有何数量关系？说明理由． 答案： 证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∵∠CFB=∠ACF+∠A=∠ACF+45°，∠ACE=∠ACF+∠ECF=∠ACF+45°，∴∠CFB=∠ACE，∴△ACE∽△BFC 解：EF2=AF2+BE2，理由如下：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，如图所示：则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF，∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2，在△ECF和△ECD中， {CF=CD∠2=∠DCECE=CE ，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE，∵∠5=45°，∴∠EBD=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2．

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