题目

已知向量 =（cosx+sinx，1）， =（cosx+sinx，﹣1）函数g（x）=4 • ． （1） 求函数g（x）在[ ， ]上的值域； （2） 若x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数； （3） 求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x﹣4＜0对x∈（﹣∞，λμ）恒成立． 答案： 解：向量 a→ =（cosx+sinx，1）， b→ =（cosx+sinx，﹣1）， ∴函数g（x）=4 a→ • b→ =4sin2x．∵x∈[ π12 ， π3 ]，∴2x∈[ π6 ， 2π3 ]，∴sin2x∈[ 12 ，1]，∴g（x）∈[2，4]； 解：g（x）=0，可得x= kπ2 ，k∈Z， ∵x∈[0，2016π]，∴ kπ2 ∈[0，2016π]，∴k∈[0，4032]，∴k的值有4033个，即x有4033个； 证明：不等式g（x）+x﹣4＜0，即 g（x）＜4﹣x， 故函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．显然，当x≤0时，函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．当x∈（0， π12 ]时，g（x）单调递增，g（ π12 ）=2，显然g（ π12 ）＜4﹣ π12 ，即函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．综上可得，当x≤ π12 时，函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．对任意λ＞0，一定存在μ= π12λ ＞0，使λμ= π12 ，满足函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．

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