题目

如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，平面 平面 ， 是棱 的中点. ， . （1） 求证： ； （2） 若 是 的中点，求证： 平面 . 答案： 因为 CC1=AC=2 ， ∠ACC1=60° ，所以三角形 ACC1 是等边三角形， 由于 M 是 CC1 的中点，所以 AM⊥CC1 . 因为平面 ACC1A1⊥ 平面 BCC1B1 且两个平面的交线为 CC1 ，所以 AM⊥ 平面 BCC1B1 ， 又 BB1⊂ 平面 BB1C1C ，所以 AM⊥BB1 . 取 BB1 中点 P ，连结 NP ， CP . 因为 N 是 AB 的中点， P 是 BB1 的中点， 所以在 △ABB1 中， NP//AB1 ， 由于 NP⊂ 平面 AB1M ， AB1⊂ 平面 AB1M ，所以 NP// 平面 AB1M . 又在三棱柱 ABC−A1B1C1 中， 所以 BB1//CC1 ，即 PB1//CM ，且 PB1=CM . 所以四边形 PB1MC 为平行四边形，所以 CP//MB1 ， 由于 CP⊂ 平面 AB1M ， MB1⊂ 平面 AB1M ，所以 CP// 平面 AB1M . 因为 NP∩CP=P ， 所以平面 CNP// 平面 AB1M ，又 CN⊂ 平面 CNP . 所以 CN// 平面 AB1M .

查看本题答案和解析