题目

已知函数 ，点 为一定点，直线 分别与函数 的图象和 轴交于点M，N，记 的面积为 ． （Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间; （Ⅱ）当 时，若 ，使得 ，求实数a的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）由已知可得：当 a=0 时， S△AMN=12⋅|AN|⋅|MN|=|t|et,t≠0 当 t>0 时， S(t)=12t⋅et ，则 S′(t)=12(t+1)⋅et 显然此时 S′(t)>0 ，所以 S(t) 在 (0,+∞) 上单调递增； 当 t<0 时， S(t)=−12t⋅et ，则 S′(t)=−12(t+1)⋅et 当 t<−1 时， S′(t)>0 ； −1<t<0 时， S′(t)<0 ， 所以 S(t) 在 (−∞,−1) 上单调递增，在 (−1,0) 上单调递减. （Ⅱ）当 a>2 ， t∈[0,2] 时， S(t)=12(a−t)⋅et 因为 ∃t0∈[0,2] ，使得 S(t0)≥e ，所以当 t∈[0,2] 时， S(t)max≥e . 求导，得： S′(t)=−12[t−(a−1)]et 由 S′(t)=0 可得 t=a−1 ， ①当 a−1≥2 ，即 a≥3 时， S′(t)>0 对 t∈[0,2] 成立， 所以 S(t) 在 [0,2] 上单调递增，故 S(t)max=S(2)=12(a−2)e2 由 12(a−2)e2≥e ，解得 a≥2e+2 所以 a≥3 满足题意； ②当 a−1<2 ，即 2<a<3 时， 当 t∈(0,a−1) 时， S′(t)>0 ，当 t∈(a−1,2) 时， S′(t)<0 ， 所以 S(t) 在 (0,a−1) 上单调递增，在 (a−1,2) 上单调递减， 故 S(t)max=S(a−1)=12ea−1 由 12ea−1≥e ，解得 a≥ln2+2 ， 所以 ln2+2≤a<3 满足题意. 综上所述：实数 a 的取值范围为 a≥ln2+2 .

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