题目

已知数列{an}满足a1＝3，an＋1－3an＝3n(n∈N＋).数列{bn}满足bn＝3－nan. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)设Sn＝，求满足不等式＜＜的所有正整数n的值. 答案：(1)由bn＝3－nan得an＝3nbn，则an＋1＝3n＋1bn＋1. 代入an＋1－3an＝3n中，得3n＋1bn＋1－3n＋1bn＝3n， 即得bn＋1－bn＝，所以数列{bn}是等差数列. (2)因为数列{bn}是首项为b1＝3－1a1＝1，公差为的等差数列， 则bn＝1＋(n－1)＝， 则an＝3nbn＝(n＋2)×3n－1. 从而有＝3n－1， 故Sn＝＋＋＋…＋＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝. 则＝，由＜＜. 得＜＜. 即3＜3n＜127，因n∈N＋，则可得1＜n≤4. 故满足不等式＜＜的所有正整数n的值为2,3,4.

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