题目

如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC， ，AD＝CD＝ ，O是AC的中点，E是BD的中点． （1） 证明：DO⊥底面ABC； （2） 求二面角D-AE-C的余弦值． 答案： 证明：∵ AD＝CD＝ 22  ，O是AC的中点， ∴ DO⊥AC． ∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC， ∴ DO⊥底面ABC 解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC． OA＝OC＝OD＝2， OB＝ 23  如图，以点O为坐标原点，OA为x轴， OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系． 则 A(2,0,0) ， B(0,23,0) ， C(−2,0,0) ， D(0,0,2) ， E(0,3,1) ， AE→=(−2,3,1) ， AD→=(−2,0,2) ， AC→=(−4,0,0) ． 设平面ADE的一个法向量为 n→=(x1,y1,z1) ， 则 {n⇀·AD⇀=0,n⇀·AE⇀=0, 即 {−2x1+2z1=0 ,−2x1+3y1+z1=0 , 令 z1=1 ，则 x1=1 , y1=33 ，所以 n→=(1,33,1) ． 同理可得平面AEC的一个法向量 m→=(0,−1,3) ． cos<m→,n→>=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=1×0+33×(−1)+1×31+13+1⋅0+1+3=77 ． 因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为 77

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