题目

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC= ，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1 ． （1） 求证：CD=C1D； （2） 求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值． 答案： 证明：连接B1A交BA1于O， ∵PB1∥平面BDA1，B1P⊂面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD，∴B1P∥OD，又O为B1A的中点，∴D为AP中点，∴C1为A1P中点，∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D． 解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， BC=2,AB=AC=1 ， ∴AB⊥AC，以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．由（1）知C1为A1P中点，∴A1（0，0，0），B1（1，0，0）， D(0,1,12) ，P（0，2，0），∴ A1B1→=(1,0,0) ， A1D→ =（0，1， 12 ），设平面A1B1D的法向量 m→=(x,y,z) ∵ m→⊥A1B1→ 且 m→⊥A1D→ ，∴ {x=0y+12z=0 ，取z=2，得y=﹣1，∴ m→=(0,−1,2) PB1→=(1,−2,0) ， PD→=(0,−1,12) ，设平面PB1D的法向量 n→=(x1,y1,z1) ，则 n→⋅PB1→=0 ， n→⋅PD→=0 ，∴ {x2−2y2=0−y2+12z2=0 ，取x=2，得y=1，2，∴平面PB1D的法向量 n→=(2,1,2) 设二面角A1﹣B1D﹣P平面角为θ，则 cosθ=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=−55 ，∴ sinθ=1−cos2θ=255

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