题目

如图，已知圆 ： ，点 . （1） 求经过点A且与圆M相切的直线 的方程； （2） 过点 的直线与圆M相交于D、E两点，F为线段 的中点，求线段 长度的取值范围. 答案： 解：当过点A直线的斜率不存在时，其方程为 x=−2 ，满足条件． 当切线的斜率存在时，设 l ： y−1=k(x+2) ，即 kx−y+2k+1=0 ， ∵ 圆心 (1,0) 到切线 l 的距离等于半径3， ∴|3k+1|k2+1=3 ，解得 k=43 ． ∴ 切线方程为 y−1=43(x+2) ，即 4x−3y+11=0 故所求直线l的方程为 x=−2 或 4x−3y+11=0 ． 解：由题意可得， F点的轨迹是以 PM 为直径的圆，记为圆C． 则圆 C 的方程为 (x−2)2+(y+1)2=2 ． 从而 AC=(−2−2)2+(1−(−1))2=25 ， 所以线段 AF 长度的最大值为 25+2 ，最小值为 25−2 ， 所以线段 AF 长度的取值范围为 [25−2,25+2] ．

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