题目

在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为 （β为参数），在极坐标系中，直线l1的方程为：α1=θ，直线l2的方程为α2=θ+ ．（Ⅰ）写出曲线M的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）由 {x=1+22cosβy=1+22sinβ （β为参数）消去参数β得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8，∴曲线M是以（1，1）为圆心， 22 为半径的圆．（Ⅱ）设|OA|=ρ1，|OC|=ρ2，∵O，A，C三点共线，则 |AC|=|ρ1−ρ2|=(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2 ①，将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2﹣2ρ（sinθ+cosθ）﹣6=0，∴ {ρ1+ρ2=2(sinθ+cosθ)ρ1ρ2=−6 ，代入①得： |AC|=28+4sin2θ ，用 θ+π2 代θ得： |BD|=28−4sin2θ又∵l1⊥l2，∴ S四边形ABCD=12|AC|⋅|BD| ，∴ S四边形ABCD=12(28+4sin2θ)(28−4sin2θ)=12784−16sin22θ ，∵sin22θ∈[0，1]，∴ S四边形ABCD∈[83，14] ．

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