题目

2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响 在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情 接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失 为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量 即该厂的年产量 万件与年促销费用m万元 满足 （k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件 已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品 元. （1） 将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2） 该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 答案： 解：由题意知，当 m=0 时， x=2( 万件 ) ， 则 2=4−k ，解得 k=2 ， x=4−2m+1 ． 因为每件产品的销售价格为 12+24xx( 元 ) ， 所以2020年的利润 y=x⋅12+24xx−8−16x−m=36−16m+1−m(m≥0) ． 解：由（1）可知 y=36−16m+1−m(m≥0) ， 令 m+1=t≥1 ，所以 y=37−16t−t=37−(16t+t) ， 由 y=t+16t 在 [1,4] 上单调递减；在 [4,+∞] 上单调递增， 所以 y=t+16t 在 t=4 取得最小值 8 ，即 x=3 ， 所以 y=37−(16t+t)≤37−8=29 ， 所以 y≤−8+37=29 ， 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

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