题目

[选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2． 答案：证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ a⋅a5 + b⋅b5 ）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当 ab5 = ba5 ，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴ (a+b)3−23(a+b) =ab，由均值不等式可得： (a+b)3−23(a+b) =ab≤（ a+b2 ）2，∴（a+b）3﹣2≤ 3(a+b)34 ，∴ 14 （a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．

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