题目

已知数列 的前 项和为 ， 且满足: （1） 证明： 是等比数列，并求数列 的通项公式. （2） 设 ，若数列 是等差数列，求实数 的值； （3） 在(2)的条件下，设 记数列 的前 项和为 ，若对任意的 存在实数 ,使得 ,求实数 的最大值. 答案： 解：因为 an+an+1=3Sn−1+6(n≥2) ，① 所以 an+1+an+2=3Sn+6(n≥2) ，② ②-①得： an+2=4an ， (n≥2) 由易得 a3=8 ，即 a3=4a1 ， 即 an+2=4an ， (n≥1) ， 即数列 {an} 的奇数项是以 a1=2 为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以 a2=4 为首项，4为公比的等比数列， 当 n 为奇数时， an=2⋅4n+12−1=2n ， 当 n 为偶数时， an=4⋅4n2−1=2n ， 综上可得 an=2n,(n≥1) ， 又 an+1an=2n+12n=2 ， 故 {an} 是等比数列，且数列 {an} 的通项公式 an=2n 解：因为 bn=tn(2n−1)an,(t≠0) ， 所以 bn=(2t)n(2n−1),(t≠0) ， 因为数列 {bn} 是等差数列， 所以 2bn+1=bn+bn+2 恒成立， 即有 (8t2−8t+2)n+(12t2−4t−1)=0 恒成立， 即 8t2−8t+2=0,12t2−4t−1=0 ， 解得 t=12 解：因为 cn=2n+122n+1−3⋅2n+1=2n+1(2n−1)(2n+1−1) = 2(12n−1−12n+1−1) ， 即 Tn=2(121−1−122−1+122−1−123−1+...+12n−1−12n+1−1)=2(1−12n+1−1) ， 又对任意的 n,k∈N*, 存在实数 λ ,使得 λ⋅Tn<bk+1 ,  即对任意的 n,k∈N*, λ<2k+12(1−12n+1−1) 恒成立， 又当 k=1 时， 2k+1 取最小值3， n→+∞ 时， 2(1−12n+1−1)→2 ， 即 λ≤32 , 故实数 λ 的最大值为 32 .

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