题目

已知数列 的各项均为正数，其前n项和为 ，且 （1） 求数列 的通项公式； （2） 若 ，设数列 的前n项和为 ，当 对任意 都成立时，求实数k的取值范围. 答案： ∵Sn=2an−2 ， ∴ 当 n=1 时， a1=2a1−2 ，解得 a1=2 ， 当 n⩾2 时， an=Sn−Sn−1=(2an−2)−(2an−1−2)=2an−2an−1 ， ∴an=2an−1 ， ∴ 数列 {an} 是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an=2n ． bn=an⋅log2an+1=2n⋅log22n+1=(n+1)2n ， 数列 {bn} 的前 n 项和为 Tn=2×2+3×22+4×23+……+(n+1)2n ， ∴2Tn=2×22+3×23+……+n⋅2n+(n+1)⋅2n+1 ， 相减可得： −Tn=4+22+23+……+2n−(n+1)⋅2n+1=2+2(1−2n)1−2−(n+1)⋅2n+1 ， 化为： Tn=n⋅2n+1 ． ∴(Tn)min=4 ， 当 Tn−k⩾0 对任意 n∈N* 都成立时， k⩽(Tn)min=4 ， ∴ 实数 k 的取值范围是 (−∞ ， 4] ．

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